La comprensione dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti: Funzione d'onda Energia potenziale Hamiltoniana Equazione di Schrödinger Momento angolare orbitale Armoniche sferiche Moto in un campo centrale In meccanica quantistica l'atomo di idrogeno è uno dei più semplici sistemi studiabili in 3 dimensioni,poiché possiede un nucleo con un protone e ha un solo elettrone. È il tipico esempio di moto in campo a simmetria centrale, ed il sistema gode di notevoli proprietà di simmetria. Indice 1 Hamiltoniana dell'atomo di idrogeno 2 Separazione del moto del centro di massa e moto relativo 2.1 Equazione del moto del centro di massa 2.2 Equazione del moto relativo 2.2.1 Equazione radiale 2.2.1.1 Spettro energetico 2.2.1.2 Soluzione radiale 3 Soluzione completa 4 Correzioni all'equazione di Schrödinger 4.1 Effetto Zeeman 5 Bibliografia 6 Voci correlate 7 Collegamenti esterni modifica Hamiltoniana dell'atomo di idrogeno Se il nucleo ha massa M e carica + e con Z = 1 è il numero atomico dell'Idrogeno ed e è la carica dell'elettrone di massa m e carica -e che si muove in un campo coulombiano attrattivo e la sua hamiltoniana è data da: dove si è indicato con il pedice n le coordinate del nucleo e con il pedice e quelle dell'elettrone, con ε0 la costante dielettrica nel vuoto. L'operatore Hamiltoniano è quindi: dove è il laplaciano: Secondo la teoria della meccanica quantistica, l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo: ammette soluzioni del tipo: dove l'esponenziale è dato dall'evoluzione temporale della funzione d'onda , soluzione dell'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo: modifica Separazione del moto del centro di massa e moto relativo Per approfondire, vedi le voci Moto in un campo centrale e Problema dei due corpi. L'hamiltoniana che descrive il sistema composto da elettrone e protone non è separabile, cioè non può essere scomposta in più problemi unidimensionali, essendo il potenziale dipende dalla differenza tra le posizioni dei due corpi. Diventa necessario ridurre il problema dei due corpi a due problemi distinti ad un corpo disaccoppiati, uno che descrive il moto libero del centro di massa e l'altro che descrive il moto relativo, il quale è determinato da un potenziale relativo che dipende solo dalla distanza dal baricentro, ed è pertanto un potenziale centrale. Per fare ciò si introducono le coordinate: rispettivamente del centro di massa e del moto relativo, in cui è la coordinata del nucleo ed dell'elettrone. Introducendo la massa ridotta: il nuovo operatore hamiltoniano diventa: Il primo termine dell'hamiltoniana rappresenta l'energia cinetica del centro di massa, che dipende dalla sola coordinata , il secondo termine rappresenta l'energia cinetica della massa ridotta ed il terzo termine l'energia potenziale coulombiana cui è soggetta la massa ridotta. Il secondo ed il terzo termine dipendono solo dalla coordinata , pertanto si è riuscito a scomporre l'hamiltoniana in un moto di particella libera ed un moto determinato da un potenziale centrale, entrambi facilmente risolvibili. Usando le coordinate del centro di massa è quindi possibile fattorizzare la soluzione dell'equazione di Schrödinger in una funzione d'onda del centro di massa e una funzione d'onda della massa ridotta: modifica Equazione del moto del centro di massa L'equazione per il moto del centro di massa si ricava dalla relativa equazione di Schrödinger con La soluzione generale di questa equazione è quella della particella libera: cioè un'onda piana con energia dove k è il vettore d'onda. modifica Equazione del moto relativo Per approfondire, vedi la voce Momento angolare orbitale. L'equazione di Schrödinger del moto relativo dei due corpi è (2) Poiché il potenziale V è sferico, possiamo utilizzare le coordinate sferiche, il nuovo operatore hamiltoniano diventa: (3) Questa equazione può essere facilmente trattata se si riconsidera il momento angolare orbitale in coordinate sferiche: (4) Così possiamo riscrivere l'equazione di Schrödinger per la particella singola come: (5) La soluzione di questa equazione può essere ulteriormente fattorizzata, separando la parte radiale dalla parte angolare (6) in cui la parte angolare è rappresentata dalle armoniche sferiche: che sono autofunzioni simultanee della proiezione del momento angolare orbitale lungo l'asse z e di , dove i pedici l ed m rappresentano numeri quantici angolare e magnetico. La soluzione completa è allora: (7) modifica Equazione radiale La parte radiale è un'equazione unidimensionale della singola particella di massa ridotta μ che si muove in un potenziale efficace. Per trovae la sua espressione si scrive l'equazione di Schrödinger radiale (8) dove sono gli autovalori del momento angolare orbitale . Si vede che RE,l dipende anche da l ma non da m, infatti non compare l'operatore . L'equazione radiale (8) si può quindi riscrivere (9) dove con si indica il potenziale efficace. Introducendo le variabili adimensionali: e allora l'equazione radiale (9) si riscrive più semplicemente: (10) Per risolvere questa equazione vediamo il comportamento asintotico. Per abbiamo: (11) e cerchiamo le soluzioni della forma: (12) che sostituite nella (11) danno l'equazione: (13) cioè una soluzione: che non è accettabile perché conduce ad una autofunzione divergente nell'origine, e una soluzione quindi: (14) Per abbiamo che la (10) diventa: (15) con soluzione immediata: (16) di cui solo la soluzione con il segno negativo è accettabile perché l'altra soluzione diverge invece di andare a zero. Quindi unendo la (14) e la (15) per la soluzione asintotica abbiamo: (17) dove ω(ρ) è una funzione da determinare che vada a infinito non più rapidamente di una potenza di ρ e deve essere finita nell'origine. Per cercare la funzione ω(ρ) sostituiamo nella (10) la (17) ed eseguiamo le derivate: e otteniamo l'equazione per ω(ρ): (18) Cerchiamo una soluzione per serie cioè poniamo: (19) e sostituiamo nella (18) per determinare i coefficienti ak: e questa equazione è soddisfatta solo se: Il comportamento asintotico all'infinito di questa equazione ricorsiva è: per cui possiamo scrivere: e così finalmente la soluzione per ω(ρ): (20) La condizione trovata non soddisfa però la condizione all'infinito perché la (20) non risulta normalizzabile. A meno che (λ − k − l − 1) non sia un numero intero positivo o nullo, in tal caso infatti la serie si interrompe quando e ω(ρ) diventa un polinomio di grado (λ − l − 1). Cioè abbiamo la condizione: modifica Spettro energetico Il simbolo n della precedente equazione è un numero intero non negativo che classifica i livelli energetici: esso rappresenta il numero quantico principale. Ricordando la definizione di λ vediamo che le energie vengono classificate per ogni : (21) Lo spettro dell'atomo di Idrogeno è discreto. Il livello fondamentale: I livelli successivi si avvicinano all'aumentare di n. Inoltre si vede che il numero quantico l è sottoposto alla condizione: Si vede che inoltre i livelli di energia sono caratterizzati solo dal numero quantico n e quindi vi è una degenerazione sia sui valori di l che rappresentano funzioni d'onda che hanno la stessa energia dato n che si chiama degenerazione accidentale caratteristica solo del campo coulombiano e una degenerazione rispetto al numero quantico m per via della simmetria centrale, per la quale tutte le direzioni sono uguali dal punto di vista energetico. Si hanno in totale n2 stati degeneri. modifica Soluzione radiale Per approfondire, vedi la voce polinomi di Laguerre. La soluzione radiale può essere rappresentata mediante i polinomi di Laguerre che rappresentano i polinomi ottenuti interrompendo la serie per ω(ρ): (18) ha soluzione: quindi la soluzione radiale per l'atomo di idrogeno: dove ed è il raggio di Bohr modificato rispetto ad in cui si sta considerando la massa ridotta mu e non la massa effettiva dell'elettrone me ed Nnl è una costante di normalizzazione. Quest'ultima si trova tramite la condizione di normalizzazione: In definitiva: Le prime soluzioni radiali dell'idrogeno sono: modifica Soluzione completa La soluzione completa della funzione d'onda dell'atomo di idrogeno è: dove Rn,l(r) sono le funzioni radiali e sono le armoniche sferiche. Poiché abbiamo visto che il numero quantico principale può prendere , il numero quantico azimutale ed il numero quantico magnetico e questi tre numeri quantici definiscono completamente la funzione d'onda, in accordo con l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda l'integrale: fornisce la probabilità che l'elettrone si trovi nella posizione r dal centro di massa. Ma vi è anche: che è la probabilità che l'elettrone si trovi in un certo punto dello spazio identificato dagli angoli θ e . Graficando P(r) si possono facilmente vedere quali siano i raggi tipici delle orbite dell'elettrone intorno al nucleo (in realtà dovremmo dire più probabili) e in effetti possiamo calcolare: dalla quale: dalla quale vediamo ancora una volta la dipendenza dal numero n quadratica, e la dipendenza dal numero l che non è prevista dal calcolo di Bohr per le orbite r = n2aB. modifica Correzioni all'equazione di Schrödinger Per approfondire, vedi la voce Struttura fine. A causa degli effetti relativistici ed allo spin dell'elettrone si introducono delle correzioni all'hamiltoniana per l'elettrone: Le correzioni sono delle perturbazioni rispetto ad H0 dove è la correzione relativistica all'energia cinetica, è il termine di spin-orbita o spin-orbitale, dovuta all'introduzione dello spin o meglio alla sua interazione con il momento angolare orbitale, è il termine di Darwin. modifica Effetto Zeeman Per approfondire, vedi la voce Effetto Zeeman. A queste correzioni va aggiunto il termine di interazione magnetica cioè l'interazione con il momento magnetico di spin, in definitiva: In generale però i termini che riguardano la correzione relativistica dell'hamiltoniano e quello di Darwin sono piccoli rispetto agli altri. Usando la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo si può risolvere l'equazione di Schrödinger con approssimazioni di tipo diverso almeno per quanto riguarda i termini con campo magnetico. Innanzitutto vediamo come sono trattabili le prime tre correzioni all'hamiltoniano. modifica Bibliografia B.H. Bransden & C.J. Joachain - Physics of atoms and molecules J. J. Sakurai - Meccanica quantistica moderna Landau & Lifsits - Meccanica quantistica. Teoria non relativistica (Editore Riuniti, Roma, 1978) L.P. Pauling & E.B. Wilson - Introduction to Quantum Mechanics (MacGrawHill, New York, 1935) modifica Voci correlate Atomo Equazione di Schrödinger Moto in un campo centrale Atomo idrogenoide modifica Collegamenti esterni Appunti di Meccanica Quantistica non relativistica Portale Meccanica quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica quantistica