Disambiguazione – Se stai cercando altri significati del termine, vedi Dimensione (disambigua). Da sinistra a destra, il quadrato è bidimensionale. "Trascinato" nella terza dimensione, forma un cubo, un oggetto tridimensionale. Analogamente, "trascinando" il cubo in una quarta dimensione si costruisce un ipercubo quadri-dimensionale o tesseratto: non è possibile disegnare un oggetto del genere, qui è rappresentata soltanto una sua proiezione. La dimensione (dal latino dimensio, "misura") è, essenzialmente, il numero di gradi di libertà disponibili per il movimento in uno spazio. Nell'uso comune, le dimensioni di un oggetto sono le misure che definiscono la sua forma e la sua grandezza. Questo significato è collegato all'uso che se ne fa in questa voce, ma se ne discosta sotto diversi aspetti. Indice 1 Dimensioni fisiche 1.1 Dimensione di una grandezza fisica 2 Dimensioni matematiche 2.1 Spazi vettoriali, dimensione di Hamel 2.2 Varietà differenziabili 2.3 Dimensione topologica 2.4 Dimensione di Hausdorff 2.5 Spazi di Hilbert 2.6 Dimensione di Krull degli anelli commutativi 3 Altre dimensioni 4 Bibliografia 5 Voci correlate modifica Dimensioni fisiche Lo spaziotempo in cui viviamo appare quadridimensionale. Convenzionalmente (e nella maggior parte dei casi pratici è ragionevole) si separa in tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale. Possiamo muoverci in alto o in basso, a nord o a sud, a est o a ovest, e i movimenti in ogni direzione possono essere espressi in termini di questi tre movimenti. Un movimento verso il basso è equivalente a un movimento verso l'alto di una quantità negativa. Un movimento a nord-ovest è semplicemente una combinazione di un movimento a nord e di un movimento a ovest. Il tempo è spesso indicato come 'quarta dimensione'. È in qualche modo differente dalle tre dimensioni spaziali dal momento che ne esiste solo una, e il movimento sembra possibile solo in una direzione. Al livello macroscopico i processi fisici non sono simmetrici rispetto al tempo. Invece a livello subatomico (scala di Planck), quasi tutti i processi fisici sono simmetrici rispetto al tempo (cioè le equazioni usate per descrivere questi processi sono le stesse indipendentemente dalla direzione del tempo), benché questo non implichi che le particelle subatomiche possano muoversi indietro nel tempo. Postulati come la teoria delle stringhe ipotizzano che lo spazio in cui viviamo abbia molte più dimensioni (spesso 10, 11 o 26), ma che l'universo misurato lungo queste dimensioni aggiuntive abbia grandezza subatomica. modifica Dimensione di una grandezza fisica Per approfondire, vedi la voce analisi dimensionale. Nelle scienze fisiche e in ingegneria, la dimensione di una grandezza fisica è l'espressione del tipo di unità di misura nella quale questa quantità è misurata. La dimensione della velocità, ad esempio, è lunghezza divisa per tempo. Nel sistema SI, la dimensione è data da sette esponenti fondamentali associati alle quantità fondamentali. modifica Dimensioni matematiche In matematica, non esiste una definizione di dimensione che comprenda adeguatamente tutte le situazioni in cui vorremmo farne uso. Di conseguenza, i matematici hanno ideato molte definizioni di dimensione per diversi tipi di spazio. Tutte, comunque, sono in definitiva basate sul concetto di dimensione di uno spazio euclideo n, E n. Il punto E 0 è 0-dimensionale. La retta E 1 è 1-dimensionale. Il piano E 2 è 2-dimensionale. In generale E n è n-dimensionale. Un tesseratto o ipercubo è un esempio di un oggetto quadridimensionale. Come nota storica, si può ricordare che nella letteratura matematica del passato era assai utilizzato il termine iperspazio per designare spazi con più di 3 dimensioni. Nel resto della voce esaminiamo alcune delle più importanti definizioni di dimensione matematica. modifica Spazi vettoriali, dimensione di Hamel Per gli spazi vettoriali, c'è una nozione naturale di dimensione, vale a dire la cardinalità di una sua base. Vedere dimensione di Hamel per i dettagli. modifica Varietà differenziabili Una varietà differenziabile, topologica e connessa è localmente omeomorfa a un n- spazio euclideo, e il numero n definisce la dimensione della varietà. Si può dimostrare che in questo modo si ottiene una dimensione unicamente definita per ogni varietà differenziabile, topologica e connessa. La teoria delle varietà, nel campo della topologia geometrica, è caratterizzata dal fatto che i casi in una o due dimensioni sono relativamente elementari, i casi con dimensioni elevate (n > 4) sono semplificati dal fatto di avere dimensioni aggiuntive in cui lavorare, e i casi con n = 3 e 4 sono in un certo senso i più difficili. Questo stato delle cose è stato sottolineato dalla congettura di Poincaré, dove sono utilizzati quattro differenti metodi di dimostrazione. modifica Dimensione topologica La dimensione topologica (o di Lebesgue) di uno spazio topologico è n se n è il più piccolo intero tale per cui vale la seguente condizione: ogni ricoprimento aperto ha un raffinamento (un secondo ricoprimento nella quale ogni elemento è un sottoinsieme di un elemento del primo) tale per cui nessun punto è incluso in più di n + 1 elementi. Per le varietà differenziabili, coincide con la dimensione menzionata sopra. Se non esiste n, allora la dimensione è infinita. modifica Dimensione di Hausdorff Per insiemi dotati di una struttura complessa, specialmente i frattali, la dimensione di Hausdorff è utile. La dimensione di Hausdorff è definita per tutti gli spazi metrici e, diversamente dalla dimensione di Hamel, può avere valori non interi. modifica Spazi di Hilbert Ogni spazio di Hilbert ammette una base ortonormale, e ognuna di tali basi ha la stessa cardinalità. Questa cardinalità definisce la dimensione dello spazio di Hilbert. Questa dimensione è finita se e solo se la dimensione di Hamel dello spazio è finita, e in questo caso le due dimensioni coincidono. modifica Dimensione di Krull degli anelli commutativi La dimensione di Krull di un anello commutativo (da Wolfgang Krull, 1899 - 1971), è definita come il massimo numero di inclusioni strette in una catena crescente di ideali primi nell'anello. modifica Altre dimensioni Dimensione di una varietà algebrica Dimensione topologica Dimensione isoperimetrica Dimensione di Lyapunov Dimensione di Kaplan-Yorke Dimensione esteriore esponente di Hurst modifica Bibliografia Thomas Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Second Edition, 1996, Freeman Clifford A. Pickover, Surfing through Hyperspace: Understanding Higher Universes in Six Easy Lessons, 1999, Oxford University Press Rudy Rucker, The Fourth Dimension, 1984, Houghton-Mifflin Edwin A. Abbott, Flatlandia (Flatland), 1884 modifica Voci correlate Stereoscopia (immagini 3-D) Computer grafica 3D Analisi dimensionale Relatività speciale Relatività generale Portale Fisica Portale Matematica