Le radici n-esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui n-esima potenza è pari a 1, ovvero le soluzioni dell'equazione: Indice 1 Le radici 2 Radici di un numero complesso qualsiasi 2.1 Esempi 3 Alcune radici di 1 4 Voci correlate modifica Le radici Nel campo complesso per ogni intero positivo n esistono esattamente n radici n-esime dell'unità e sono nella forma Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con k intero, . Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con n lati che ha un vertice in (1,0). Tra queste radici le uniche reali sono r0 = 1 e, se n = 2k (cioè è pari) rk = − 1. Per ogni n l'insieme delle radici n-esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico. Si dicono radici primitive n-esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici n-esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive n-esime dell'unità sono quelle radici n-esime dell'unità tali che: . Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero φ(n) di interi minori di n e coprimi con n. Qui φ è la funzione di Eulero. modifica Radici di un numero complesso qualsiasi Le radici n-esime di un numero complesso z possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare Se z è diverso da zero, le radici n-esime di z sono effettivamente n radici distinte. Una di queste è la seguente Infatti Più in generale, le n radici di z si ottengono moltiplicando w0 con le n radici dell'unità. Quindi Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di n lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è . modifica Esempi Le radici quarte di un numero reale positivo a sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di a per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di a sono quindi: Le radici n-esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di n lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di π / n in senso antiorario il poligono formato dalle radici n-esime dell'unità. Il numero − 1 è vertice del poligono quando n è dispari. modifica Alcune radici di 1 modifica Voci correlate Polinomio ciclotomico Equazione ciclotomica 1 Unità immaginaria Radicale (matematica) Radice (matematica) Numero complesso Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica